Question

11．已知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程及曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設點P在曲線C上，求點P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)化為普通方程，根據(jù)極坐標和直角坐標的互化公式把直線L的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C上任一點為P（3$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），求得它到直線的距離d，再根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得d的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直線l：ρ（cosθ-$\sqrt{3}$sinθ）=12，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴直線l的直角坐標方程：x-$\sqrt{3}$y-12=0，
∵曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3\sqrt{3}cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{x}{3}$=$\sqrt{3}$cosθ，①y=$\sqrt{3}$sinθ，②，
①²+②²得：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=3
故曲線C的普通方程：$\frac{{x}^{2}}{27}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）設點P在曲線C上的坐標是（3$\sqrt{3}$cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），
它到直線的距離為d=$\frac{|3\sqrt{3}cosθ-3sinθ-12|}{\sqrt{1+3}}$=3|sin（$\frac{π}{3}$-θ）-2|，
當且僅當sin（$\frac{π}{3}$-θ）=1時，d取最小值，最小值是3，
∴點P到直線l的距離的最小值為3．

點評 本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標方程化為直角坐標方程的方法，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．