Question

16．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂．點P（a，b）滿足|PF₂|=|F₁F₂|．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設直線PF₂與橢圓相交于A，B兩點，若|AB|=$\frac{32}{5}$，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）易知F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），從而可得|PF₂|=$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$，從而可得$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$=2c，從而化簡可得a²-ac-2c²=0，從而解得；
（2）易知a=2c，b=$\sqrt{3}$c，從而寫出PF₂的方程為：y=$\sqrt{3}$（x-c），從而與橢圓聯(lián)立可得|AB|=$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+1}$•|0-$\frac{8c}{5}$|=$\frac{32}{5}$，從而解得．

解答 解：（1）由題意知，F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）；
故|PF₂|=$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴$\sqrt{（a-c）^{2}+^{2}}$=2c，
即（a-c）²+a²-c²=4c²；
化簡得，a²-ac-2c²=0，
解得，a=2c或a=-c（舍去）；
故e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（2）由題意知，a=2c，b=$\sqrt{3}$c，
故PF₂的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}c-0}{2c-c}$（x-c）=$\sqrt{3}$（x-c），
聯(lián)立得，$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
化簡可得，
5x²-8cx=0，
解得，x=0或x=$\frac{8c}{5}$；
故|AB|=$\sqrt{{\sqrt{3}}^{2}+1}$•|0-$\frac{8c}{5}$|=$\frac{32}{5}$，
故c=2，
故a=4，b=2$\sqrt{3}$，
故橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程的應用及直線與橢圓的位置關系的應用．