Question

5．設(shè)集合A={y|y=2^x+1，x＜1}，B={x|-1-a≤ax+1≤1+a}，若A∪B=B，
（1）求集合A；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，化簡集合A即可；
（2）化簡集合B，根據(jù)集合的運算性質(zhì)，把問題轉(zhuǎn)化為討論a的取值，解對應(yīng)不等式的問題．

解答 解：（1）∵x＜1，∴0＜2^x＜2，
∴1＜2^x+1＜3，
故A={y|1＜y＜3}；（4分）
（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，
不等式-1-a≤ax+1≤1+a等價于-2-a≤ax≤a，（2分）
當(dāng)a＜0時，$B=\{x|1≤x≤-\frac{2}{a}-1\}$，
∵A⊆B，∴-$\frac{2}{a}$-1≥3，解得-$\frac{1}{2}$≤a＜0；（2分）
當(dāng)a＞0時，則$B=\{x|-\frac{2}{a}-1≤x≤1\}$，不滿足A⊆B；（2分）
當(dāng)a=0時，則B=R，滿足A⊆B；
綜上，a的取值范圍是：$-\frac{1}{2}≤a≤0$．（2分）

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了集合的化簡與運算問題，考查了分類討論思想與轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用問題，是綜合性題目．