Question

如圖分別為三棱錐S-ABC的直觀圖與三視圖，在直觀圖中，SA=SC，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由三視圖我們易得平面SAC⊥底面ABC，底面△ABC為正三角形，結(jié)合已知中SA=SC，我們?nèi)�AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．根據(jù)等腰三角形三線合一，我們易證明AC⊥平面OSB，根據(jù)線面垂直的定義，得到結(jié)論．
（2）以O(shè)的原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OS分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)后，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，然后求出平面MNC與平面NBC的法向量，利用向量法求二面角M-NC-B的余弦值．

解答：解：（1）由題意知：SA=SC=2

3

，
側(cè)面SAC⊥底面ABC，底面△ABC為正三角形，
取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．
∵SA=SC，AB=AC，
∴AC⊥SO，AC⊥OB
∴AC⊥平面OSB，
∴AC⊥SB（4分）
（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則A(2，0，0)，B(0，2

3

，0)，C(-2，0，0)，S(0，0，2

2

)，M(1，

3

，0)，N(0，

3

，

2

)∴

AC

=(-4，0，0)，

SB

=(0，2

3

，-2

2

)

CM

=(3，

3

，0)，

MN

=(-1，0，

2

)
設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，
則

n• CM =3x+ 3 y=0 n• MN =-x+ 2 z=0

取z=1得x=

2

，y=-

6

所以n=(

2

，-

6

，1)（8分）
又由上可得

CB

=(2，2

3

，0)，

CN

=(2，

3

，

2

)
設(shè)m=（a，b，c）為平面NBC的法向量
則

m• CB =2a+2 3 b=0 m• CN =2a+ 3 b+ 2 c=0

得a+

2

c=0
取c=1，則m=(-

2

，

6

3

，1)（10分）
所以cos＜n，m＞=

m•n

|m|•|n|

=

-2-2+1

3× 33 3

=-

33

11

所以二面角M-NC-B的余弦值為

33

11

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單物體的三視圖，線面垂直的證明與性質(zhì)，二面角的求法，解答的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖分析幾何體的線面關(guān)系．