Question

如圖分別為三棱錐S-ABC的直觀圖與三視圖，在直觀圖中，SA=SC，M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SB；
（2）求二面角M-NC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由三視圖我們易得平面SAC⊥底面ABC，底面△ABC為正三角形，結(jié)合已知中SA=SC，我們?nèi)�AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．根據(jù)等腰三角形三線合一，我們易證明AC⊥平面OSB，根據(jù)線面垂直的定義，得到結(jié)論．
（2）以O(shè)的原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OS分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)后，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，然后求出平面MNC與平面NBC的法向量，利用向量法求二面角M-NC-B的余弦值．
解答：解：（1）由題意知：，
側(cè)面SAC⊥底面ABC，底面△ABC為正三角形，
取AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．
∵SA=SC，AB=AC，
∴AC⊥SO，AC⊥OB
∴AC⊥平面OSB，
∴AC⊥SB（4分）
（2）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，

則∴
設(shè)n=（x，y，z）為平面CMN的一個(gè)法向量，
則
取z=1得
所以（8分）
又由上可得
設(shè)m=（a，b，c）為平面NBC的法向量
則
得
取c=1，則（10分）
所以
所以二面角M-NC-B的余弦值為（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡單物體的三視圖，線面垂直的證明與性質(zhì)，二面角的求法，解答的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖分析幾何體的線面關(guān)系．