Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，（a∈R）．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求a的值；
（2）判斷f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明；
（3）要使f（x）≧0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是R上的奇函數(shù)所以f（x）+f（-x）=0求得．
（2）在定義域上任取兩個(gè)變量，且界定大小再作差變形看符號．
（3）由f（x）≥0恒成立，可轉(zhuǎn)化為a≥

2

2x+1

恒成立，再求得∵0＜

2

2x+1

＜2從而有a≥2．

解答：解：（1）因f（x）是R上的奇函數(shù)
．所以f（x）+f（-x）=0
所以過原點(diǎn)．a(chǎn)=1．
（2）定義域?yàn)镽
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則f（x₂）-f（x₁）
=a-

2

2x2+1

-a+

2

2x1+1

=-

2

2x2+1

+

2

2x1+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

.
∵y=2^x為增函數(shù)，且x₂＞x_1，
∴2x2＞2x1而分母大于0恒成立
∴f（x₂）-f（x₁）＞0∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）是R上的增函數(shù)
（3）由f（x）≥0恒成立，可得a≥

2

2x+1

恒成立
∵0＜

2

2x+1

＜2要使其恒成立，只需a≥2

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性定義求參數(shù)的值和單調(diào)性證明問題以及恒成立問題．