Question

11．已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是左，右焦點(diǎn)，P是右支上一點(diǎn)，PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，垂足為H，若OF₁=$\frac{4}{3}$OH，則離心率e=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），令x=c，求得|PF₂|，運(yùn)用直角三角形中正切函數(shù)的定義，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
令x=c，則y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有|PF₂|=$\frac{^{2}}{a}$，
在△OF₁H中，由OF₁=$\frac{4}{3}$OH，可得
OH=$\frac{3}{4}$c，HF₁=$\sqrt{{c}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{c}^{2}-\frac{9}{16}{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$c，
tan∠PF₁F₂=$\frac{\frac{3}{4}c}{\frac{\sqrt{7}}{4}c}$=$\frac{3}{\sqrt{7}}$，
在△PF₁F₂中，tan∠PF₁F₂=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{^{2}}{2ac}$，
即有$\frac{^{2}}{2ac}$=$\frac{3}{\sqrt{7}}$，可得6ac=$\sqrt{7}$b²=$\sqrt{7}$（c²-a²），
由e=$\frac{c}{a}$可得$\sqrt{7}$e²-6e-$\sqrt{7}$=0，
解得e=$\sqrt{7}$（負(fù)的舍去）．
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直角三角形的正切函數(shù)的定義，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．