Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{3x}{x+1}$，x∈[2，5]．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性并且證明；
（2）求f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，直接求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）f（x）在[2，5]上是增函數(shù)．
理由：在[2，5]上任取兩個(gè)數(shù)x₁＜x₂，
則有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{3{x_1}}}{{{x_1}+1}}-\frac{{3{x_2}}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{3（{x_1}-{x_2}）}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+1）}}$＜0，
所以f（x）在[2，5]上是增函數(shù)．
（2）由（1）可知函數(shù)是增函數(shù)，
f（x）在區(qū)間[2，5]上的最大值f（2）=2；最小值f（5）=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．