Question

2．已知銳角△ABC中內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的邊長分別為a、b、c，滿足a²+b²=6abcosC，且sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB；
（1）求角C的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+C）+cosωx（ω＞0），且f（x）圖象上相鄰兩最高點(diǎn)間的距離為π，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理得c²=2$\sqrt{3}$ab，代入余弦定理即可得出關(guān)于cosC的方程，解出cosC即可得出C．
（2）由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由題意，利用周期公式即可求ω，由C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{5π}{6}$-A，A，B為銳角，可得范圍$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，求得范圍π＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵sin²C=2$\sqrt{3}$sinAsinB，
∴c²=2$\sqrt{3}$ab．
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{6abcosC-2\sqrt{3}ab}{2ab}$=3cosC-$\sqrt{3}$，解得cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴C=$\frac{π}{6}$；…（6分）
（2）∵f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）+cosωx=$\sqrt{3}$sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
由已知$\frac{2π}{ω}$=π，ω=2，
∴則f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），…（9分）
∵C=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{5π}{6}$-A，
由于0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$．
∴π＜2A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{4π}{3}$，
∴-$\frac{3}{2}$＜f（A）＜0．
∴f（A）的取值范圍為：$（-\frac{3}{2}，0）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．