Question

7．（文科）底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD=$\sqrt{6}$，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點．
（1）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（2）若PD∥平面EAC，求三棱錐P-EAD的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明AC⊥PD，AC⊥BD，推出AC⊥平面PBD．然后證明平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）取AD中點H，連結(jié)BH，說明BD⊥平面PAD，然后利用等體積法求解幾何體的體積即可．

解答 （文科）試題解析：
（Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：∵PD∥平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，∴PD∥OE，
∵O是BD中點，∴E是PB中點．
取AD中點H，連結(jié)BH，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴BH⊥AD，又BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
∴${V}_{P-EAD}={V}_{E-PAD}=\frac{1}{2}{V}_{B-PAD}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×S_△PAD×BH=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{6}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及平面與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．