Question

14．已知A、B、C為三角形ABC的三內(nèi)角，其對應(yīng)邊分別為a、b、c，且2acosC=2b-c．
（1）求A的大��；
（2）若$a=\sqrt{7}，b+c=5$，求三角形ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式與誘導(dǎo)公式即可得出．
（2）利用余弦定理與三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵2acosC=2b-c，由正弦定理可知2sinAcosC=2sinB-sinC①，
在三角形ABC中有：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC②，
由①②可得：2cosAsinC-sinC=0，在三角形ABC中sinC≠0，故得$cosA=\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，所以$A=\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bc•cosA，得${（\sqrt{7}）^2}={（b+c）^2}-2bc-2bc•cos\frac{π}{3}$，
即$7=25-2bc-2bc×\frac{1}{2}$，∴bc=6．
故得：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差公式及其誘導(dǎo)公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．