Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=-

2

3

，其通項(xiàng)a_n滿足a_n=-

1

an-1+2

（n≥2）
（1）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）猜想a_n的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論，猜想a_n的表達(dá)式，再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（1）∵a₁=-

2

3

，a_n=-

1

an-1+2

（n≥2），
∴a₂=-

3

4

，a₃=-

4

5

，a₄=-

5

6

．             …3分
（2）由（1）可以猜想a_n=-

n+1

n+2

．                                    …4分
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
�。┊�(dāng)n=1時(shí)，a₁=-

2

3

，所以當(dāng)n=1時(shí)猜想成立．             …5分
ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即a_k=-

k+1

k+2

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=-

1

- k+1 k+2 +2

=-

k+2

k+3

所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
由ⅰ）和ⅱ）可知，猜想對(duì)任意的n∈N^*都成立．                   
所以a_n=-

n+1

n+2

．…8分

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．