Question

【題目】設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅰ）試推導(dǎo){an}的前n項(xiàng)和公式；
（Ⅱ） 設(shè)q≠1，證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．

Answer 1

【答案】解：（I）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1；當(dāng)q≠0，1時(shí)，由Sn=a1+a2+…+an ，
得qSn=a1q+a2q+…+an﹣1q+anq．
兩式錯(cuò)位相減得（1﹣q）Sn=a1+（a2﹣a1q）+…+（an﹣an﹣1q）﹣anq，（*）
由等比數(shù)列的定義可得 ，
∴a2﹣a1q=a3﹣a2q=…=0．
∴（*）化為（1﹣q）Sn=a1﹣anq，
∴ ．
∴ ；
（Ⅱ）用反證法：設(shè){an}是公比為q≠1的等比數(shù)列，數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列．
①當(dāng)存在n∈N* ， 使得an+1=0成立時(shí)，數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列．
②當(dāng)n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時(shí)，則 = = ，
化為（qn﹣1﹣1）（q﹣1）=0，
∵q≠1，∴q﹣1≠0，qn﹣1﹣1≠0，故矛盾．
綜上兩種情況：假設(shè)不成立，故原結(jié)論成立
【解析】（Ⅰ）分q=1與q≠1兩種情況討論，當(dāng)q≠1，0時(shí)，利用錯(cuò)位相減法即可得出；（Ⅱ）分①當(dāng)存在n∈N* ， 使得an+1=0成立時(shí)，顯然不成立；②當(dāng)n∈N*（n≥2），使得an+1≠0成立時(shí)，使用反證法即可證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握前項(xiàng)和公式：；等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷．