Question

16．如圖，在正四棱柱中ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=1，D₁B和平面ABCD所成的角的大小為$arctan\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，求該四棱柱的表面積．

Answer 1

分析 根據(jù)正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱B₁C⊥底面ABCD，判斷∠B₁CB為直線B₁C與底面ABCD所成的角，求出側(cè)棱長，代入棱柱的側(cè)面積公式計算．

解答 解：∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)棱D₁D⊥底面ABCD，連結(jié)BD，
∴∠D₁BD為直線BD₁與底面ABCD所成的角，
D₁B和平面ABCD所成的角的大小為$arctan\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$，
∴tan∠D₁BD=$\frac{{DD}_{1}}{\sqrt{2}}$，DD₁=$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3}{2}$，
∴正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)面積S=4×1×$\frac{3}{2}$=6，
底面積為1+1=2．
棱柱的表面積為：8．
故答案為：8．

點評 本題考查了正四棱柱的性質(zhì)，直線與平面所成角的應(yīng)用，考查了線面角的定義，側(cè)面積計算公式，關(guān)鍵是找到直線與面積所成的角．