Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-a•{2}^{x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$是定義R在上的奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)g（x）=（2^x+2^-x）•f（x）．
（�。┡袛嗪瘮�(shù)y=g（x）的單調(diào)性（不需要說明理由），并求使不等式g（x²+tx）+g（4-x）＞0對(duì)x∈R恒成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（ⅱ）設(shè)h（x）=2^2x+2^-2x-2m•g（x）且h（x）在[1，+∞）上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，由此求得a值．
（2）（�。┮阎獃=g（x）在R上為增函數(shù)，原不等式可化為g（x²+tx）＞g（x-4），x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范圍．
（ⅱ）令t=g（x）=2^x-2^-x，由（1）可知y=g（x）在R上為增函數(shù)，t≥g（1），令h（t）=t²-2mt+2，（t≥$\frac{3}{2}$），分類討論求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．

解答 解：（1）由題意易知f（0）=$\frac{1-a}{1+a}$，故a=1．…．…．（1分）
所以f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$，
∵2^2x＞0，∴2^2x+1＞1，∴-2＜-$\frac{2}{{2}^{2x}+1}$＜0，
∴-1＜f（x）＜1，故函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．…．…．（3分）
（2）（�。┮阎獃=g（x）在R上為增函數(shù)，原不等式可化為g（x²+tx）＞g（x-4），
∴x²+tx＞x-4，即  x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．…．…．（6分）
（ⅱ）h（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=g（x）=2^x-2^-x，由（1）可知y=g（x）在R上為增函數(shù)，
∵x≥1，∴t≥g（1）=$\frac{3}{2}$，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²�。╰≥$\frac{3}{2}$）…（10分）
若m≥$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=m時(shí)，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2…（12分）
若m＜$\frac{3}{2}$，當(dāng)t=$\frac{3}{2}$時(shí)，h（t）_min=$\frac{17}{4}$-3m=-2，解得m=$\frac{25}{12}$＞$\frac{3}{2}$，舍去…（14分）
綜上可知m=2．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．