Question

已知集合A={x|ax²+bx+1=0，a∈R，b∈R}，求：
（1）當(dāng)b=2時(shí)，A中至多只有一個(gè)元素，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，A中至少有一個(gè)元素，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a、b滿足什么條件時(shí)，集合A為非空集合．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn),元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：（1）A為空集，表示方程無解，根據(jù)一元二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系，若A中只有一個(gè)元素，
則方程ax²+2x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根我們易得到一個(gè)關(guān)于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一個(gè)元素，表示方程為一次方程，或有兩個(gè)等根的二次方程，分別構(gòu)造關(guān)于a的方程，即可求出滿足條件的a值，以及兩個(gè)不同的實(shí)根，利用判別式大于0，即可得到．
（3）若集合A為空集，求出a的范圍，再求補(bǔ)集即可得到答案．

解答： 解：（1）若A是空集，
則方程ax²+2x+1=0無解，
此時(shí)△=4-4a＜0即a＞1，
若A中只有一個(gè)元素，
則方程ax²+2x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根，
當(dāng)a=0時(shí)方程為一元一次方程，滿足條件，
當(dāng)a≠0，此時(shí)△=4-4a=0，解得：a=1．
∴a=0或a=1．
則a的取值范圍是：a=0或a≥1；
（2）當(dāng)b=-2時(shí)，A中至少有一個(gè)元素，
即ax²-2x+1=0有且只有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)不同的實(shí)根，
則有a=0或a≠0，△=0或a≠0，△＞0，
即有a=0，或a=1或a≠0且a＜1．
則a的取值范圍是：a=0或a≤1；
（3）若集合A為空集合，
則ax²+bx+1=0無實(shí)數(shù)解，
即有a=0，b=0，或a≠0，△＜0．
即有a=0，且b=0，或b²＜4a，
故當(dāng)a、b滿足a≠0或b≠0或a≠0時(shí)，b²≥4a，時(shí)，集合A為非空集合．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是元素與集合關(guān)系的判斷，根據(jù)題目要求確定集合中方程根的情況，是解答本題的關(guān)鍵．