Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2bx+c，設(shè)函數(shù)g（x）=|f（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值為M．
（Ⅰ）若b=2，試求出M；
（Ⅱ）若M≥k對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把b=2代入函數(shù)解析式，由函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)得到M是g（-1）和g（1）中較大的一個(gè)，由此根據(jù)c的范圍試求出M；
（Ⅱ）把函數(shù)g（x）配方，然后分|b|＞1時(shí)，|b|≤1時(shí)由函數(shù)y=g（x）的單調(diào)性求出其最大值，又g（b）=|b²+c|，再分當(dāng)-1≤b≤0時(shí)和0＜b≤1時(shí)，求出最大值M，經(jīng)比較可知對(duì)任意的b、c都有M≥

1

2

．再求出當(dāng)b=0，c=

1

2

時(shí)g（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值M=

1

2

，由此可得M≥k對(duì)任意的b、c恒成立的k的最大值為

1

2

．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)b=2時(shí)，f（x）=-x²+2bx+c在區(qū)間[-1，1]上是增函數(shù)，
則M是g（-1）和g（1）中較大的一個(gè)，
又g（-1）=|-5+c|，g（1）=|3+c|，
則M=

|-5+c|，c≤1 |3+c|，c＞1

；
（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|-（x-b）²+b²+c|，
（i）當(dāng)|b|＞1時(shí)，y=g（x）在區(qū)間[-1，1]上是單調(diào)函數(shù)，
則M=max{g（-1），g（1）}，
而g（-1）=|-1-2b+c|，g（1）=|-1+2b+c|，
則2M≥g（-1）+g（1）≥|f（-1）-f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．
（ ii）當(dāng)|b|≤1時(shí)，函數(shù)y=g（x）的對(duì)稱軸x=b位于區(qū)間[-1，1]之內(nèi)，
此時(shí)M=max{g（-1），g（1），g（b）}，
又g（b）=|b²+c|，
①當(dāng)-1≤b≤0時(shí)，有f（1）≤f（-1）≤f（b），
則M=max{g（b），g（1）}≥

1

2

（g（b）+g（1））≥

1

2

|f（b）-f（1）|=

1

2

(b-1)2≥

1

2

；
②當(dāng)0＜b≤1時(shí)，有f（-1）≤f（1）≤f（b）．
則M=max{g（b），g（-1）}≥

1

2

（g（b）+g（-1））≥

1

2

|f（b）-f（-1）|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
綜上可知，對(duì)任意的b、c都有M≥

1

2

．
而當(dāng)b=0，c=

1

2

時(shí)，g(x)=|-x2+

1

2

|在區(qū)間[-1，1]上的最大值M=

1

2

，
故M≥k對(duì)任意的b、c恒成立的k的最大值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題，考查二次函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決該類問題一般應(yīng)用賦值法．特別是問題（Ⅱ）的分類討論，增加了題目的難度，綜合性強(qiáng)．