數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知若a1=
1
2
,Sn=n2an-n(n-1)(n∈N*
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(Ⅲ)設(shè)bn=
1
SnSn+1
,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Tn,證明:Tn
5
2
(n∈N*
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(Ⅰ)由a1=
1
2
,Sn=n2an-n(n-1)(n∈N*),分別令n=2,3即可解出;
(Ⅱ)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,化為(n+1)an-(n-1)an-1=2,由(I)猜想an=
n2+n-1
n2+n
,代入上式驗(yàn)證成立即可.
(Ⅲ)an=1+(
1
n+1
-
1
n
)
,可得Sn=n+
1
n+1
-1=
n2
n+1
,可得bn=
1
SnSn+1
=
n+2
n2(n+1)
,當(dāng)n≥2時(shí),bn
n+2
(n-1)n(n+2)
=
1
n-1
-
1
n
,即可證明.
解答: 解:(Ⅰ)∵a1=
1
2
,Sn=n2an-n(n-1)(n∈N*),
令n=2,可得
1
2
+a2
=4a2-2,解得a2=
5
6

令n=3,可得
1
2
+
5
6
+a3=9a3-6,解得a3=
11
12


(Ⅱ)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2an-n(n-1)-[(n-1)2an-1-(n-1)(n-2)],
化為(n+1)an-(n-1)an-1=2,
由(Ⅰ)猜想an=
n2+n-1
n2+n
,
代入上式驗(yàn)證成立,
∴an=
n2+n-1
n2+n


(Ⅲ)證明:∵an=1+(
1
n+1
-
1
n
)

∴Sn=n+(
1
2
-1)+(
1
3
-
1
2
)
+…+(
1
n+1
-
1
n
)

=n+
1
n+1
-1
=
n2
n+1
,
∴bn=
1
SnSn+1
=
n+2
n2(n+1)
,
當(dāng)n≥2時(shí),bn
n+2
(n-1)n(n+2)
=
1
n-1
-
1
n

∴當(dāng)n≥2時(shí),Tn
3
2
+(1-
1
2
)
+(
1
2
-
1
3
)
+…+(
1
n-1
-
1
n
)
=
5
2
-
1
n
5
2

當(dāng)n=1時(shí),上式也成立.
∴Tn
5
2
(n∈N*).
點(diǎn)評(píng):本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、“放縮法”,考查了猜想歸納能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知sin2α=
1
3
,則cos2
π
4
-α)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)O(0,0),B(2
2
,
π
4
).
(1)求以O(shè)B為直徑的圓C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+ρsinθ=4,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

閱讀下面材料:
由曲線y=sinx,x∈[0,π],直線x=0,x=π及x軸圍成的封閉圖形的面積為2;
由曲線y=sin2x,x∈[0,
π
2
],直線x=0,x=
π
2
及x軸圍成的封閉圖形的面積為1;
由曲線y=sin3x,x∈[0,
π
3
],直線x=0,x=
π
3
及x軸圍成的封閉圖形的面積為
2
3
;…
據(jù)此猜想:由曲線y=Asin(ωx+φ),(A>0,ω>0),x∈[0,
π
ω
]
,直線x=0,x=
π
ω
及x軸圍成的封
閉圖形的面積為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在△ABC中,角A、B、C為其內(nèi)角,若
1
tanA
,
1
tanB
1
tanC
依次成等差數(shù)列,則角B的最大值是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,橢圓的兩焦點(diǎn)與橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)的直線l:y=kx+m(k∈R),使得|
OA
+2
OB
|=|
OA
-2
OB
|
成立?若存在,求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線E:
x2
m
+
y2
m-1
=1,
(1)若曲線E為雙曲線,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)已知m=4,A(-1,0)和曲線C:(x-1)2+y2=16,點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn),線段PA的垂直平分線為l,試判斷l(xiāng)與曲線E的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)角A,B,C為△ABC三個(gè)內(nèi)角,已知cos(B+C)+sin2
A
2
=
5
4

(1)求角A的大;
(2)若
AB
AC
=-1,求BC邊上的高AD長的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=lnx+
a
x
,(a>0).
(1)求函數(shù)g(x)的極值;
(2)已知x1>0,函數(shù)h(x)=
f(x)-f(x1)
x-x1
,x∈(x1,+∞),判斷并證明h(x)的單調(diào)性;
(3)設(shè)0<x1<x2,試比較f(
x1+x2
2
)
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,并加以證明.

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