已知函數(shù)f(x)=x-lnx,g(x)=lnx+
a
x
,(a>0).
(1)求函數(shù)g(x)的極值;
(2)已知x1>0,函數(shù)h(x)=
f(x)-f(x1)
x-x1
,x∈(x1,+∞),判斷并證明h(x)的單調(diào)性;
(3)設(shè)0<x1<x2,試比較f(
x1+x2
2
)
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,并加以證明.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)求導(dǎo)g′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
,從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值;
(2)先判斷h(x)在(x1,+∞)上是增函數(shù),再求導(dǎo)證明;
(3)由(2)知,h(x)=
f(x)-f(x1)
x-x1
在(x1,+∞)上是增函數(shù),從而令x=
x1+x2
2
求得.
解答: 解:(1)g′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
,令g'(x)=0,得x=a.
當(dāng)x∈(0,a)時,g'(x)<0,g(x)是減函數(shù);
當(dāng)x∈(a,+∞)時,g'(x)>0,g(x)是增函數(shù).
∴當(dāng)x=a時,g(x)有極小值lna+1,g(x)無極大值.
(2)h(x)在(x1,+∞)上是增函數(shù),證明如下,
h′(x)=
f′(x)(x-x1)-f(x)+f(x1)
(x-x1)2

=
(1-
1
x
)(x-x1)-x+lnx+x1-lnx1
(x-x1)2

=
x1
x
+lnx-1-lnx1
(x-x1)2

由(1)知φ(x)=
x1
x
+lnx
在[x1,+∞)上是增函數(shù),
當(dāng)x∈(x1,+∞)時,φ(x)>φ(x1),
x1
x
+lnx>1+lnx1

∴h'(x)>0,
即h(x)在(x1,+∞)上是增函數(shù).
(3)0<x1<x<x2,由(2)知,h(x)=
f(x)-f(x1)
x-x1
在(x1,+∞)上是增函數(shù),
f(x2)-f(x1)
x2-x1
f(x)-f(x1)
x-x1

x=
x1+x2
2
得,
f(
x1+x2
2
)<
1
2
[f(x1)+f(x2)]
點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知若a1=
1
2
,Sn=n2an-n(n-1)(n∈N*
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項;
(Ⅲ)設(shè)bn=
1
SnSn+1
,數(shù)列{bn}的前n項的和為Tn,證明:Tn
5
2
(n∈N*

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有3人,每人都以相同的概率被分配到4個房間中的一間,則至少有2人分配到同一房間的概率是
 

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x
1+x2
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已知數(shù)列{an}的遞推公式an=
n,n為奇數(shù)
a
n
2
,n為偶數(shù)(n∈N*)
,則a2012+a2013=( 。
A、2516B、2518
C、3019D、3021

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方程4x-2x+1+4m=0只有一個實數(shù)解,則實數(shù)m的取值范圍是(  )
A、{m|m≤0}
B、{m|0<m<
1
4
}
C、{m|m>
1
4
}
D、{m|m≤0或m=
1
4
}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知A={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)<0},B={x|
x-2a
x-a2-1
<0
},若B⊆A,則a的取值范圍.

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求函數(shù)y
(x-2)2+y2
+
(x-3)2+(y-1)2
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1
6
x3+
1
2
(a-2)x2+b,g(x)=2alnx
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,0)處的切線互相垂直,求a,b的值.
(2)設(shè)F(x)=f′(x)-g(x),若對任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有F(x2)-F(x1)>a(x2-x1),并求a的取值范圍.

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