Question

6．雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的一個焦點F與拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點相同，它們交于A，B兩點，且直線AB過點F，則雙曲線C₁的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}+1$
• D． 2

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點，可得p=2c，將x=c代入雙曲線的方程，可得$\frac{2^{2}}{a}$=2p=4c，由a，b，c的關系和離心率公式，解方程即可得到所求．

解答 解：拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點為（$\frac{p}{2}$，0），
由題意可得c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
由直線AB過點F，結合對稱性可得AB垂直于x軸，
令x=c，代入雙曲線的方程，可得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
即有$\frac{2^{2}}{a}$=2p=4c，
由b²=c²-a²，可得c²-2ac-a²=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$，（負的舍去），
故選：C．

點評 本題考查拋物線和雙曲線的方程和性質，考查對稱性和離心率公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．