Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+2ax+a²-1．
（1）若對(duì)任意的x∈R均有f（1-x）=f（1+x），求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，求f（x）的最小值，用g（a）表示其最小值，判斷g（a）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）由f（1-x）=f（1+x），得到對(duì)稱軸為x=1，即可求出a的值，
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論即可求出g（a），再根據(jù)奇偶性的定義即可判斷．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax+a²-1對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都有f（1+x）=f（1-x）成立，
∴函數(shù)的對(duì)稱軸x=-a=1，
∴a=-1，
（2）∵f（x）=x²+2ax+a²-1=（x+a）²-1，其對(duì)稱軸為x=-a，
當(dāng)-a≤-1時(shí)，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，故g（a）=f（x）_min=f（-1）=a²-2a，
當(dāng)-1＜-a＜1時(shí)，即-1＜a＜1時(shí)，故g（a）=f（x）_min=f（a）=-1，
當(dāng)-a≥1時(shí)，即a≤-1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，故g（a）=f（x）_min=f（1）=a²+2a，
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-2a，a≥1}\\{-1，-1＜a＜1}\\{{a}^{2}+2a，a≤-1}\end{array}\right.$，
∵g（-a）=g（a），
∴g（a）為偶函數(shù)

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題