Question

1．棱長為4$\sqrt{3}$的正四面體內切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的最大半徑為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Answer 1

分析 棱長為4$\sqrt{3}$的正四面體內切一球，那么球O與此正四面體的四個面相切，即球心到四個面的距離都是半徑，由等體積法求出球的半徑，求出上面三棱錐的高，利用相似比求出上部空隙處放入一個小球，求出這球的最大半徑．

解答 解：由題意，此時的球與正四面體相切，
由于棱長為4$\sqrt{3}$的正四面體，故四個面的面積都是$\frac{\sqrt{3}}{4}×（4\sqrt{3}）^{2}$=12$\sqrt{3}$
又頂點A到底面BCD的投影在底面的中心G，此G點到底面三個頂點的距離都是4
由此知頂點A到底面BCD的距離是$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$
此正四面體的體積是$\frac{1}{3}×12\sqrt{3}×4\sqrt{2}$=16$\sqrt{6}$，
又此正四面體的體積是$\frac{1}{3}$×r×12$\sqrt{3}$×4=16$\sqrt{3}$r，故有r=$\sqrt{2}$．
上面的三棱錐的高為2$\sqrt{2}$，原正四面體的高為4$\sqrt{2}$，
所以空隙處放入一個小球，則這球的最大半徑為a，$\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}$，∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查球的體積和表面積，用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表面積公式是正確解題的知識保證．相似比求解球的半徑是解題的關鍵．