Question

定義在上的函數(shù)當(dāng)時(shí)，，且對任意的有。
（1）求證：，
（2）求證：對任意的，恒有；
（3）若，求的取值范圍。

Answer 1

(1)見解析(2) 見解析(3)

試題分析：解抽象函數(shù)問題多用賦值法,找出其單調(diào)性奇偶性來解決不等問題.
（Ⅰ）令，且時(shí)，,可求；
（Ⅱ）令，易求，由已知時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，,從而可證結(jié)論；
（Ⅲ）任取，依題意，可證
，從而可證是上的增函數(shù),再根據(jù)單調(diào)性來解不等式．
試題解析：
(1)證明: 令，得,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030415812393.png" style="vertical-align:middle;" />時(shí)，所以
(2) 令，得
即
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030415906482.png" style="vertical-align:middle;" />
所以對任意的，恒有
(3) 任取，依題意，可得

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030416545584.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,所以
又因?yàn)閷θ我獾?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030415921433.png" style="vertical-align:middle;" />，恒有
所以即
所以是上的增函數(shù)
由
可得其解集: