Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B分別為x軸、y軸上的點(diǎn)，且|AB|=1，若點(diǎn)P（1，$\frac{4}{3}}）$），則$|{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [5，6]
• B． [5，7]
• C． [4，6]
• D． [6，9]

Answer 1

分析 設(shè)A（x，0），B（0，y）求出則$|{\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}}$|的模長表達(dá)式，根據(jù)距離公式的幾何意義求出最值．

解答 解：設(shè)A（x，0），B（0，y），則$\overrightarrow{AP}$=（1-x，$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（1，$\frac{4}{3}$-y），$\overrightarrow{OP}$=（1，$\frac{4}{3}$），
∴$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}$=（3-x，4-y），
∴|$\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$，
∵|AB|=1，∴x²+y²=1，
∴$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$表示單位圓上的點(diǎn)到M（3，4）的距離，
∴$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$的最小值為|OM|-1=4，$\sqrt{（3-x）^{2}+（4-y）^{2}}$的最大值為|OM|+1=6，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的運(yùn)算，屬于中檔題．