Question

點(diǎn)Q（x，y）是函數(shù)y=|

x2

2

-1|圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，5），則P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值是

11

．

Answer 1

分析：分-

2

＜x＜

2

和x≤-

2

或x≥

2

時(shí)兩種情況加以討論，分別建立P、Q之間的距離為d關(guān)于x、y的關(guān)系式，由函數(shù)解析式消去x得到關(guān)于y的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值．

解答：解：設(shè)P、Q兩點(diǎn)之間距離為d，根據(jù)題意，得
①當(dāng)-

2

＜x＜

2

時(shí)，函數(shù)為y=1-

x2

2

，圖象是拋物線y=1-

x2

2

位于y軸上方的弧，
此時(shí)，d²=（x-0）²+（y-5）²=（2-2y）+y²-10y+25=y²-12y+27
當(dāng)x=0時(shí)y=1，d²的最小值為16，P、Q兩點(diǎn)之間距離最小值為4；
②當(dāng)x≤-

2

或x≥

2

時(shí)，函數(shù)為y=

x2

2

-1，圖象是拋物線y=

x2

2

-1
位于y軸上方的兩段弧，
此時(shí)，d²=（x-0）²+（y-5）²=（2+2y）+y²-10y+25=y²-8y+27
當(dāng)x=±

10

時(shí)y=4，d²的最小值為11，P、Q兩點(diǎn)之間距離最小值為

11

因?yàn)?span id="d375nrt" class="MathJye">

11

＜4，所以P、Q兩點(diǎn)之間距離最小值為

11

，
此時(shí)的點(diǎn)Q坐標(biāo)為（±

10

，4）
綜上所述，P、Q兩點(diǎn)之間距離的最小值是

11

故答案為：

11

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有絕對(duì)值的二次函數(shù)圖象，求圖象上一點(diǎn)與點(diǎn)P（0，5）間距離的最小值．著重考查了兩點(diǎn)間的距離公式、函數(shù)解析式的化簡(jiǎn)、二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值等知識(shí)，屬于中檔題．