Question

【題目】如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A、B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)度為km．

（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)∠BAO= (rad)，將表示成的函數(shù)；②設(shè)OP (km) ，將表示成的函數(shù)．

（2）請(qǐng)選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短．

Answer 1

【答案】（1）① ②（2）當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為 (km)時(shí)，鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短．

【解析】試題分析：（1）第（1）問第①問，先根據(jù)已知把表示成的函數(shù)，再利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)函數(shù). 第②問，直接利用兩點(diǎn)間的距離公式把表示成的函數(shù).(2)第（2）問，先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)的最小值.

試題解析：

（1）①由條件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= (rad) ，

則, 故，又OP＝，

所以，

所求函數(shù)關(guān)系式為

②若OP= (km) ，則OQ＝10－，

所以OA =OB=

所求函數(shù)關(guān)系式為

（2）選擇函數(shù)模型①，

令0 得sin ，因?yàn)?/span>，所以=，

當(dāng)時(shí)， ， 是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)， ， 是的增函

數(shù)，所以函數(shù)在=時(shí)取得極小值，這個(gè)極小值就是最小值． ．這時(shí) (km)

因此，當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B的距離均為 (km)時(shí)，鋪設(shè)的排污管道總長(zhǎng)度最短．