Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記，求實(shí)數(shù)的取值范圍 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

分析：(1)先根據(jù)二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)，再代入求的值；(2)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定單調(diào)性遞增區(qū)間，再根據(jù)區(qū)間之間包含關(guān)系列不等式，解得實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)先根據(jù)正弦函數(shù)圖像確定a的取值范圍，再根據(jù)對稱性得，最后代入求實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由，

得，

∴在區(qū)間上是增函數(shù)

∴當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)

若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則

∴，解得

（Ⅲ）方程在區(qū)間內(nèi)有兩實(shí)數(shù)根等價(jià)于直線與曲線 有兩個(gè)交點(diǎn).

∵當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，，，

∴

即實(shí)數(shù)的取值范圍是

∵函數(shù)的圖像關(guān)于對稱

∴，∴

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.