Question

已知n∈N^*，數列{d_n}滿足dn=

3+(-1)n

2

，數列{a_n}滿足a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n；數列{b_n}為公比大于1的等比數列，且b₂，b₄為方程x²-20x+64=0的兩個不相等的實根．
（Ⅰ）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）將數列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后剩余的項按從小到大的順序排成新數列{c_n}，求數列{c_n}的前2015項和．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）由數列{d_n}滿足dn=

3+(-1)n

2

，可得d_2n-1+d_2n=3．即可得出a_n=3n．b₂，b₄為方程x²-20x+64=0的兩個不相等的實根．且數列{b_n}為公比大于1的等比數列，解得b₂=4，b₄=16．再利用等比數列的通項公式即可得出．
（II）將數列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后剩余的項按從小到大的順序排成新數列{c_n}，可得數列{c_n}為：b₁，b₂，b₄，b₅，…，設數列{b_n}的前n項和為S_n．可得數列{c_n}的前2015項和=S₃₀₂₂-（b₃+b₆+…+b₃₀₂₁），利用等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵數列{d_n}滿足dn=

3+(-1)n

2

，∴d_2n-1+d_2n=3．
∴a_n=d₁+d₂+d₃+…+d_2n=3n．
∵b₂，b₄為方程x²-20x+64=0的兩個不相等的實根．且數列{b_n}為公比大于1的等比數列，
∴b₂=4，b₄=16．
∴公比q²=

b4

b2

=

16

4

=4，解得q=2．
∴b_n=b2qn-2=4×2^n-2=2ⁿ．
綜上可得：a_n=3n，b_n=2ⁿ．
（Ⅱ）將數列{b_n}中的第a₁項，第a₂項，第a₃項，…，第a_n項，…刪去后剩余的項按從小到大的順序排成新數列{c_n}，
則數列{c_n}為：b₁，b₂，b₄，b₅，…，
設數列{b_n}的前n項和為S_n．
∴數列{c_n}的前2015項和=S₃₀₂₂-（b₃+b₆+…+b₃₀₂₁）
=

2(23022-1)

2-1

-

8(81007-1)

8-1

=

5×23023-13

7

．

點評：本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．