Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)

（1）求證：EF⊥CD；
（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論；
（3）求DB與平面DEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

設(shè)AD=a，則D（0，0，0）、A（a，0，0）、B（a，a，0）、C（0，a，0）、E（a， ，0）、F（ ， ， ）、P（0，0，a）

∵ =（﹣ ，0， ）， =（0，a，0），

∴ =（﹣ ，0， ）（0，a，0）=0，

∴ ⊥

∴EF⊥DC

（2）解：設(shè)G（x，0，z），則G∈平面PAD．

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ），

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ）（a，0，0）=a（x﹣ ）=0，∴x= ；

=（x﹣ ，﹣ ，z﹣ ）（0，﹣a，a）= +a（z﹣ ）=0，∴z=0．

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0，0），即G點(diǎn)為AD的中點(diǎn)

（3）解：設(shè)平面DEF的法向量為 =（x，y，z）．

由 得：

取x=1，則y=﹣2，z=1，

∴ =（1，﹣2，1）．

cos＜ ， ＞= = = ，

∴DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為

【解析】以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=a，可求出各點(diǎn)的坐標(biāo)；（1）求出EF和CD的方向向量，根據(jù)向量垂直的充要條件，可證得 ⊥ ，即EF⊥DC．（2）設(shè)G（x，0，z），根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，可得 = =0，進(jìn)而可求出x，z值，得到G點(diǎn)的位置；（3）求出平面DEF的法向量為 ，及DB的方向 的坐標(biāo)，代入向量夾角公式，可得DB與平面DEF所成角的正弦值
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)，掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，以及對(duì)直線與平面垂直的性質(zhì)的理解，了解垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．