Question

已知：橢圓（a＞b＞0），過點A（-a，0），B（0，b）的直線傾斜角為，原點到該直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點，若，求直線EF的方程；
（3）對于D（-1，0），是否存在實數k，直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點，且|DP|=|DQ|？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由，，得，b=1，
所以，橢圓方程為：；
（2）設直線EF的方程為：x=my-1（m＞0），代入，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由，得y₁=-2y₂．
由，；
得，∴m=1，m=-1（舍去），所以，直線EF的方程為：x=y-1，即x-y+1=0．
（3）記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將y=kx+2代入，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*），x₁，x₂是此方程的兩個相異實根．
設PQ的中點為M，則，；
由|DP|=|DQ|，得DM⊥PQ，∴，∴3k²-4k+1=0，得k=1或．
但k=1，均使方程（*）沒有兩相異實根，∴滿足條件的k值不存在．
分析：（1）由直線AB的傾斜角，可知斜率；由S_△OAB的面積公式，可得a，b的值；從而得橢圓的方程．
（2）直線EF過點D（-1，0），可設為x=my-1（m＞0）代入橢圓方程，可得關于y的方程；設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由，可得y₁、y₂的關系；由y₁+y₂，y₁y₂，從而得m的值，以及直線EF的方程．
（3）設點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把y=kx+2代入橢圓方程，得關于x的方程（*）；x₁，x₂是此方程的兩個相異實根．設PQ的中點為M，可表示x_M，y_M；由|DP|=|DQ|，可得DM⊥PQ，從而得k_DM的值，得k的值；驗證方程（*）無兩相異實根，知滿足條件的k不存在．
點評：本題考查了直線與橢圓的綜合應用問題，解題時靈活運用了橢圓的標準方程，向量，根與系數的關系等知識，是綜合性較強的題目．