Question

已知：橢圓（a＞b＞0），過點(diǎn)A（-a，0），B（0，b）的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．
（1）求橢圓的方程；
（2）斜率大于零的直線過D（-1，0）與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若，求直線EF的方程；
（3）是否存在實(shí)數(shù)k，直線y=kx+2交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D（-1，0）？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由，，
得，b=1，
所以橢圓方程是：
（2）設(shè)EF：x=my-1（m＞0）
代入，得（m²+3）y²-2my-2=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
由，
得y₁=-2y₂．
由，
得，
∴m=1，m=-1（舍去），
直線EF的方程為：x=y-1即x-y+1=0
（3）將y=kx+2代入，
得（3k²+1）x²+12kx+9=0（*）
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵PQ為直徑的圓過D（-1，0），
則PD⊥QD，
即（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2，
得．
解得，
此時（*）方程△＞0，
∴存在，滿足題設(shè)條件．
分析：（1）利用兩點(diǎn)連線的斜率公式及點(diǎn)到直線的距離公式列出橢圓的三個參數(shù)a，b，c的關(guān)系，通過解方程求出a，b，c的值，寫出橢圓的方程．
（2）設(shè)出直線方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到關(guān)于y的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件中的向量關(guān)系找到有關(guān)直線方程中的待定系數(shù)滿足的等式，解方程求出直線的方程．
（3）將條件以PQ為直徑的圓過點(diǎn)D（-1，0）轉(zhuǎn)化為PD⊥QD，設(shè)出直線的方程將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用向量垂直的充要條件列出等式，求出直線的斜率．
點(diǎn)評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的關(guān)系問題，一般將直線的方程與圓錐曲線方程聯(lián)立得到二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系找突破口．