Question

19．已知拋物線C：x²=2y的焦點(diǎn)為F，P為拋物線C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M（-2，4^m-2^m+4），m∈R，則|MP|+|PF|的最小值為（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{13}{4}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{17}{4}$

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，判斷M在拋物線的開(kāi)口之內(nèi)，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，交于N，當(dāng)M．P，N共線時(shí)，|PM|+|PF|取得最小值，即為|MN|，再由配方結(jié)合二次函數(shù)的最值的求法，即可得到最小值．

解答 解：拋物線C：x²=2y的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{1}{2}$），
準(zhǔn)線方程為y=-$\frac{1}{2}$，
4^m-2^m+4=（2^m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$＞2，
可得M在拋物線的開(kāi)口之內(nèi)，
過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，交于N，
由拋物線的定義可得，|PM|+|PF|≥|MP|+|PN|，
當(dāng)M．P，N共線時(shí)，|PM|+|PF|取得最小值，
即為|MN|=4^m-2^m+4+$\frac{1}{2}$=（2^m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{17}{4}$，
當(dāng)m=-1時(shí)，取得最小值為$\frac{17}{4}$．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程的運(yùn)用，考查最值的求法，注意運(yùn)用定義法，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．