Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=kx²+2x（k為實(shí)常數(shù)）為奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=a^f（x）-1（a＞0且a≠1）．當(dāng)a=$\sqrt{2}$時(shí)，g（x）=t²-2mt+1對(duì)所有的x∈[-1，1]及m∈[-1，1]恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．．

Answer 1

分析 通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)g（x）最大值的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1≤t²-2mt+1即t²-2mt≥0在[-1，1]上恒成立，令h（m）=-2mt+t²，解關(guān)于t的不等式，求出t的范圍即可．

解答 解：由f（-x）=-f（x）得kx²-2x=-kx²-2x，
∴k=0，∵g（x）=a^f（x）-1=（a²）^x-1，
①當(dāng)a²＞1，即a＞1時(shí)，g（x）=（a²）^x-1在[-1，2]上為增函數(shù)，
∴g（x）最大值為g（2）=a⁴-1；
②當(dāng)a²＜1，即0＜a＜1時(shí)，∴g（x）=（a²）^x在[-1，2]上為減函數(shù)，
∴g（x）最大值為g（-1）=$\frac{1}{{a}^{2}}$-1，
∴g（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{4}-1，a＞1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}-1，0＜a＜1}\end{array}\right.$；
由②得g（x）在x∈[-1，1]上的最大值為g（1）=${（\sqrt{2}）}^{2}$-1=1，
∴1≤t²-2mt+1即t²-2mt≥0在[-1，1]上恒成立，
令h（m）=-2mt+t²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）{=t}^{2}+2t≥0}\\{h（1）{=t}^{2}-2t≥0}\end{array}\right.$ 即$\left\{\begin{array}{l}{t≤-2或t≥0}\\{t≤0或t≥2}\end{array}\right.$，
∴t∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．