Question

16．若直線ax+by=1（a，b都是正實數(shù)）與圓x²+y²=1相交于A，B兩點，當(dāng)△AOB（O是坐標原點）的面積為$\frac{1}{2}$，a+b的最大值為2．

Answer 1

分析 利用△AOB（O是坐標原點）的面積為$\frac{1}{2}$，求出OA⊥OB，可得圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a²+b²=2，利用（a+b）²≤2（a²+b²）=4，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，△AOB（O是坐標原點）的面積為$\frac{1}{2}×1×1×sin∠AOB$=$\frac{1}{2}$，∴sin∠AOB=1，
∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB，
∴圓心到直線的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²+b²=2，
∴（a+b）²≤2（a²+b²）=4，
∴a+b≤2，即a+b的最大值為2．
故答案為：2．

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．