Question

6．已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，且滿足$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=0，則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 由已知，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為的球面上，且滿足：$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=0，則在P點(diǎn)處PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=0，$\overrightarrow{PB}$$•\overrightarrow{PC}$=0，$\overrightarrow{PC}$$•\overrightarrow{PA}$=0，
∴PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為1的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．
∴4=PA²+PB²+PC²，
則由基本不等式可得PA²+PB²≥2PA•PB，PA²+PC²≥2PA•PC，PB²+PC²≥2PB•PC，
即4=PA²+PB²+PC²≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
則三棱錐P-ABC的側(cè)面積S=$\frac{1}{2}$（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤2，
則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為2，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是棱錐的側(cè)面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據(jù)已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答本題的關(guān)鍵．