Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若數(shù)列 ，

求數(shù)列的通項公式；

（Ⅲ）若數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項和，是否存在正實數(shù)，使不等式對于一切的恒成立？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）=1；（2） （3）.

【解析】

試題分析：（1）由f（x）+f（1-x）= =1，能得到f（）+f（ ）=1．由此規(guī)律求值即可

（2）由a_n=f（0）+f()+f()+…+f()+f（1）（n∈N^*），知a_n=f(1)+f()+f()+…+f（）+f（0）（n∈N^*），由倒序相加法能得到a_n

（3）由b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，知b_n=(n+1)•2ⁿ，由S_n=2•2¹+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立，由此能夠證明當(dāng)k＞4時，不等式knS_n＞b_n對于一切的n∈N^*恒成立．

解：（1）=+=+=1

                  

（2）∵     ①

∴ ②

由（Ⅰ），知=1

∴①+②，得 

（3）∵ ，∴  

∴，       ①

，  ②

①－②得 

即   要使得不等式恒成立，即對于一切的恒成立，

法一：對一切的恒成立，

令，

∵在是單調(diào)遞增的,  ∴的最小值為

∴＝,   ∴.

法二： .   設(shè)

當(dāng)時，由于對稱軸直線，且 ，而函數(shù)在 是增函數(shù)，     ∴不等式恒成立

即當(dāng)時，不等式對于一切的恒成立

考點：本試題主要考查了數(shù)列、不等式知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．

點評：解題時要注意倒序相加法、錯位相減法的靈活運用．