Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=

3x

a

+

a

3x

是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得：f（1）=f（-1），代入解析式化簡(jiǎn)求值即可；
（2）由（1）求出f(x)=3x+

1

3x

，再根據(jù)定義法證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

3x

a

+

a

3x

是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，
所以f（1）=f（-1），即

3

a

+

a

3

=

3-1

a

+

a

3-1

，
解得a²=1，又a＞0，則a=1，
證明：（2）由（1）得，f(x)=3x+

1

3x

，
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=3x1+

1

3x1

-（3x2+

1

3x2

）=3x1-3x2+

3x2-3x1

3x13x2

=

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x13x2

，
因?yàn)?＜x₁＜x₂，所以3x1-3x2＜0，3x13x2＞1，
所以；

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x13x2

＜

(3x1-3x2)(3x13x2-1)

3x13x2

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的靈活應(yīng)用、單調(diào)性的證明，熟練掌握定義法證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟是解題的關(guān)鍵．