Question

已知點（

5π

12

，2）在函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象上，直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為

π

2

（1）求f（x）的解析式和單遞增區(qū)間；
（2）將y=f（x）的圖象先向右平移

π

6

個單位，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="xzg5lwt" class="MathJye">

1

2

倍（縱坐標不變），所得到的函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），求函數(shù)g（x）在[

π

8

，

3π

8

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數(shù)的圖象,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先根據(jù)已知及周期公式可求得ω的值，由已知再求φ的值，從而可求得f（x）的解析式和單遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換先求解析式，進而可求最值．

解答： 解：（1）由條件，

T

2

=

π

2

，∴

2π

ω

=π，∴ω=2…（2分）
又2sin(2×

5π

12

+φ)=2，得2×

5π

12

+φ=

π

2

+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜

π

2

，∴φ=-

π

3

，…（4分）
∴f（x）的解析式為f(x)=2sin(2 x-

π

3

)，
∴令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，從而可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．…（6分）
（2）將y=f（x）的圖象先向右平移

π

6

個單位，得y=2sin(2 x-

2π

3

)，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="baywzh4" class="MathJye">

1

2

倍（縱坐標不變）得 g(x)=2sin(4 x-

2π

3

)
而x∈[

π

8

， 

3π

8

]，  ∴-

π

6

≤4x-

2π

3

≤

5π

6

，∴-

1

2

≤sin(4 x-

2π

3

)  ≤1，
∴函數(shù)g（x）在[

π

8

， 

3π

8

]上的最大值為，2，最小值為-1．…（12分）

點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．