Question

7．設(shè)雙曲線C：$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為其左右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為雙曲線C右支上任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}$的取值范圍；
（2）若動(dòng)點(diǎn)P與雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值，且cos∠F₁PF₂的最小值為$-\frac{1}{9}$，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），$x≥\sqrt{2}$，左焦點(diǎn)${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，通過(guò)$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}=（x，y）•（x+\sqrt{5}，y）$利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱軸$x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}≤\sqrt{2}$，求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}$的取值范圍．
（2）寫(xiě)出P點(diǎn)軌跡為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，利用$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{5}$，|PF₁|+|PF₂|=2a，結(jié)合余弦定理，以及基本不等式求解橢圓方程即可．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），$x≥\sqrt{2}$，左焦點(diǎn)${F_1}（-\sqrt{5}，0）$，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}=（x，y）•（x+\sqrt{5}，y）$=${x^2}+\sqrt{5}x+{y^2}={x^2}+\sqrt{5}x+\frac{{3{x^2}}}{2}-3$…（4分）
=$\frac{5}{2}{x^2}+\sqrt{5}x-3$（$x≥\sqrt{2}$）
對(duì)稱軸$x=-\frac{{\sqrt{5}}}{5}≤\sqrt{2}$，
$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{{F_1}M}∈[{2+\sqrt{10}，+∞}）$…（3分）
（2）由橢圓定義得：P點(diǎn)軌跡為橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，$|{{F_1}{F_2}}|=2\sqrt{5}$，|PF₁|+|PF₂|=2a$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{{{|{P{F_1}}|}^2}+{{|{P{F_2}}|}^2}-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}=\frac{{4{a^2}-2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}$=$\frac{{4{a^2}-20}}{{2|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}}-1$…（4分）
由基本不等式得$2a=|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|≥2\sqrt{|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|}$，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₁|=|PF₂|時(shí)等號(hào)成立$|{P{F_1}}|•|{P{F_2}}|≤{a^2}$$⇒cos∠{F_1}P{F_2}≥\frac{{4{a^2}-20}}{{2{a^2}}}-1=-\frac{1}{9}⇒{a^2}=9$，b²=4
所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$…（3分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查計(jì)算能力．