Question

1．在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosα}\\{y=3+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）將C₁，C₂的方程化為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（2）若C₁上的點P對應的參數(shù)為α=$\frac{π}{2}$，Q為C₂上的動點，求PQ中點M到直線l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$的距離的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用cos²α+sin²α=1即可得出．
（2）P（-2，4），設Q$（8cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，可得M（-1+4cosθ，2+$\sqrt{3}$sinθ）．直線l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$化為：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可化為普通方程．再利用點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調性與值域即可得出．

解答 解：（1）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+cosα}\\{y=3+sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），利用cos²α+sin²α=1可得：（x+2）²+（y-3）²=1．
同理由C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cosθ}\\{y=2\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）可得：$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（2）P（-2，4），設Q$（8cosθ，2\sqrt{3}sinθ）$，可得M（-1+4cosθ，2+$\sqrt{3}$sinθ）．
直線l：ρcos（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$化為：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=$\sqrt{3}$，化為x+$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0．
∴d=$\frac{|-1+cosθ+\sqrt{3}（2+\sqrt{3}sinθ）-2\sqrt{3}|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{|4cosθ+3sinθ-1|}{2}$=$\frac{|5sin（θ+φ）-1|}{2}$≤3．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．