Question

1．（1）四面體的一個頂點為A，從其他頂點和各棱中點中取3個點，使它們和點A在同一個面上有多少種不同方法？
（2）四面體的頂點和各棱中點共10個點，從其中取4個不共面的點，有多種不同的取法？

Answer 1

分析 （1）分三類，在同一側(cè)面，在1條側(cè)棱與斜對底邊中點中取，在不相鄰的側(cè)棱上取，相加問題得以解決．
（2）由題意知從10個點中任取4個點有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點共面的情況有三類，取出的4個點位于四面體的同一個面上；取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去補(bǔ)合題意的結(jié)果．

解答 解：（1）含頂點A的四面體的3個面上，除點A外每個面都有5個點，從中取出3個點必與A共面，共有3•C₅³=30種取法，含頂點A的三條棱上各有3個點，他們與所對的棱的中點共面，共有3種取法，
根據(jù)分類計數(shù)原理可得共有30+3=33種取法，
（2）從10個點中任取4個點有C₁₀⁴種取法，
其中4點共面的情況有三類．
第一類，取出的4個點位于四面體的同一個面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個點及該棱對棱的中點，這4點共面，有6種；
第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對邊分別平行于四面體相對的兩條棱），
它的4頂點共面，有3種．
以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．

點評 本題考查排列組合的解決簡單實際問題，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理，屬于中檔題．