Question

1．（1）四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一個(gè)面上有多少種不同方法？
（2）四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，從其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，有多種不同的取法？

Answer 1

分析 （1）分三類，在同一側(cè)面，在1條側(cè)棱與斜對(duì)底邊中點(diǎn)中取，在不相鄰的側(cè)棱上取，相加問題得以解決．
（2）由題意知從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上；取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去補(bǔ)合題意的結(jié)果．

解答 解：（1）含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外每個(gè)面都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3個(gè)點(diǎn)必與A共面，共有3•C₅³=30種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有3個(gè)點(diǎn)，他們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法，
根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得共有30+3=33種取法，
（2）從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，
其中4點(diǎn)共面的情況有三類．
第一類，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4C₆⁴種；
第二類，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；
第三類，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），
它的4頂點(diǎn)共面，有3種．
以上三類情況不合要求應(yīng)減掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的解決簡單實(shí)際問題，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題．