如圖,在直角梯形ABCP中,,D是AP的中點(diǎn),E,G分別為PC,CB的中點(diǎn),將三角形PCD沿CD折起,使得PD垂直平面ABCD.(1)若F是PD的中點(diǎn),求證:AP平面EFG;(2)當(dāng)二面角G-EF-D的大小為時,求FG與平面PBC所成角的余弦值.
(1)詳見解析,(2)
解析試題分析:(1)證明線面平行,關(guān)鍵找線線平行.因?yàn)楸绢}條件涉及中點(diǎn)較多,宜從中位線性質(zhì)出發(fā)尋找.如取AD中點(diǎn)M,則有又所以平面=平面.本題也可從證面面平行出發(fā),推出線面平行.(2)已知二面角平面角,求線面角,宜利用空間向量解決.先建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出各點(diǎn)的坐標(biāo),,,,,設(shè),利用二面角G-EF-D的大小為求出,再利用空間向量數(shù)量積求線面角. 利用空間向量求角,關(guān)鍵是正確表示平面的法向量,明確向量夾角與二面角或線面角之間關(guān)系.
試題解析:(1)證明:是的中點(diǎn)時,////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面. (6分)
(2)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則有,,,,設(shè),
,,平面的法向量,則有
,解得. .
平面的法向量,依題意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,則有
,解得. .
與平面所成角為,則有,
故有. (12分)
考點(diǎn):線面平行判定定理,利用空間向量求角
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如下圖所示,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.
(1)證明:PA⊥BD;
(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐P—ABCD中,PD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=2,PD=,M為棱PB的中點(diǎn).
(1)證明:DM平面PBC;
(2)求二面角A—DM—C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四棱錐的底面是正方形,側(cè)棱底面,過作垂直交于點(diǎn),作垂直交于點(diǎn),平面交于點(diǎn),且,.
(1)設(shè)點(diǎn)是上任一點(diǎn),試求的最小值;
(2)求證:、在以為直徑的圓上;
(3)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知的直徑,點(diǎn)、為上兩點(diǎn),且,,為弧的中點(diǎn).將沿直徑折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖2).
(1)求證:;
(2)在弧上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,試指出點(diǎn)的位置;若不存在,請說明理由;
(3)求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q—BP—C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖甲,△ABC是邊長為6的等邊三角形,E,D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點(diǎn),點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn).線段AG交線段ED于F點(diǎn),將△AED沿ED翻折,使平面AED⊥平面BCDE,連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體。
(1)求證BC⊥平面AFG;
(2)求二面角B-AE-D的余弦值.
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