Question

2．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為B，過點(diǎn)B且互相垂直的動(dòng)直線l₁，l₂與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，Q，若當(dāng)l₁的斜率為2時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線PQ與y軸相交于點(diǎn)M，設(shè)$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）寫出直線l的方程y=2x+b，由P點(diǎn)在直線上求得b，得到橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，再由點(diǎn)P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）在橢圓上求得a，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)直線l₁，l₂的方程分別為y=kx+2，$y=-\frac{1}{k}x+2$，分別聯(lián)立直線方程與橢圓方程，求得M，Q的坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$求得實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）l₁的斜率為2時(shí)，直線l₁的方程為y=2x+b．
由l₁過點(diǎn)P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$），得$-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}+b$，即b=2．
∴橢圓C的方程可化為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
由點(diǎn)P（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{4}{3}$）在橢圓上，得$\frac{25}{9{a}^{2}}+\frac{4}{9}=1$，解得a²=5．
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l₁，l₂的方程分別為y=kx+2，$y=-\frac{1}{k}x+2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（4+5k²）x²+20kx=0，
即${x}_{P}=-\frac{20k}{5{k}^{2}+4}$，同理，可得${x}_{Q}=\frac{\frac{20}{k}}{\frac{5}{{k}^{2}}+4}=\frac{20k}{5+4{k}^{2}}$，
由$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，得$\frac{20k}{5{k}^{2}+4}=λ\frac{20k}{5+4{k}^{2}}$，
∴$λ=\frac{4{k}^{2}+5}{5{k}^{2}+4}=\frac{4}{5}+\frac{\frac{9}{5}}{5{k}^{2}+4}$，
∵5k²+4＞4，
∴0$＜\frac{\frac{9}{5}}{5{k}^{2}+4}＜\frac{9}{20}$，
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（$\frac{4}{5}，\frac{5}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量法在求解問題中的應(yīng)用，是中檔題．