Question

13．求證：1+$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{3}$$+…+\frac{1}{{2}^{n}}$＞1$+\frac{n}{2}$（n≥2，n∈N^•）

Answer 1

分析 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，首先①假設(shè)當(dāng)n=2時，原不等式成立，進(jìn)而②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時，不等式成立．據(jù)此推導(dǎo)n=k+1時，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$＞1+$\frac{k}{2}$+2^k•$\frac{1}{{2}^{k+1}}$=1+$\frac{k+1}{2}$，成立，即可完成證明．

解答 證明：運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=2時，左=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞1+1=右，不等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N^*）時，不等式成立．
即1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$＞1+$\frac{k}{2}$成立．
那么n=k+1時，1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$
＞1+$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}+{2}^{k}}$＞1+$\frac{k}{2}$+（$\frac{1}{{2}^{k+1}}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$）
=1+$\frac{k}{2}$+2^k•$\frac{1}{{2}^{k+1}}$=1+$\frac{k+1}{2}$，
即有當(dāng)n=k+1時，不等式成立．
據(jù)①②可知，不等式對一切n∈N^*且n≥2時成立．

點評 本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用：證明不等式，按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟分析解題即可，注意從n=k到n=k+1時，左式的變化．