Question

14．已知函數f（x）=x-sinx，數列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
（1）證明：f（x）在（0，1）上是增函數
（2）用數學歸納法證明：0＜a_n＜1，n=1，2，3，…；
（3）證明：${a_{n+1}}＜\frac{1}{6}{a_n}^3$．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數f（x）=x-sinx，數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），可得a₃-a₂＜0，從而可得結論；
（2）證題的關鍵是n=k+1時，結論成立，利用函數是（0，1）上的單調遞增函數即可；
（3）設函數$g（x）=sinx-x+\frac{1}{6}{x^3}，0＜x＜1$，求導判斷函數的單調性，即可證明．

解答 解：（1）因為0＜x＜1時，f'（x）=1-cosx＞0所以f（x）在（0，1）上是增函數，
（2）證明：
①當n=1時，由已知，結論成立．
②假設當n=k時結論成立，即0＜a_k＜1，
因為f（x）在（0，1）上是增函數，又f（x）在[0，1]上圖象不間斷，
從而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故當n=k+1時，結論成立．
由①②可知，0＜a_n＜1對一切正整數都成立．
（2）設函數$g（x）=sinx-x+\frac{1}{6}{x^3}，0＜x＜1$，由（1）可知，當0＜x＜1時，sinx＜x．
從而$g'（x）=cosx-1+\frac{x^2}{2}=-2{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}＞-2{（\frac{x}{2}）^2}+\frac{x^2}{2}=0$，所以g（x）在（0，1）上是增函數．
又g（0）=0，所以當0＜x＜1時，g（x）＞0成立．
于是g（a_n）＞0，即$sin{a_n}-{a_n}+\frac{1}{6}{a_n}^3＞0$，故${a_{n+1}}＜\frac{1}{6}a_n^3$．

點評 本題考查數學歸納法，考查學生分析解決問題的能力，掌握數學歸納法的證題步驟是關鍵．