Question

14．已知函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
（1）證明：f（x）在（0，1）上是增函數(shù)
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜a_n＜1，n=1，2，3，…；
（3）證明：${a_{n+1}}＜\frac{1}{6}{a_n}^3$．

Answer 1

分析 （1）直接利用函數(shù)f（x）=x-sinx，數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），可得a₃-a₂＜0，從而可得結(jié)論；
（2）證題的關(guān)鍵是n=k+1時(shí)，結(jié)論成立，利用函數(shù)是（0，1）上的單調(diào)遞增函數(shù)即可；
（3）設(shè)函數(shù)$g（x）=sinx-x+\frac{1}{6}{x^3}，0＜x＜1$，求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可證明．

解答 解：（1）因?yàn)?＜x＜1時(shí)，f'（x）=1-cosx＞0所以f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
（2）證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，由已知，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即0＜a_k＜1，
因?yàn)閒（x）在（0，1）上是增函數(shù)，又f（x）在[0，1]上圖象不間斷，
從而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1，
故當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．
由①②可知，0＜a_n＜1對(duì)一切正整數(shù)都成立．
（2）設(shè)函數(shù)$g（x）=sinx-x+\frac{1}{6}{x^3}，0＜x＜1$，由（1）可知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，sinx＜x．
從而$g'（x）=cosx-1+\frac{x^2}{2}=-2{sin^2}\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}＞-2{（\frac{x}{2}）^2}+\frac{x^2}{2}=0$，所以g（x）在（0，1）上是增函數(shù)．
又g（0）=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞0成立．
于是g（a_n）＞0，即$sin{a_n}-{a_n}+\frac{1}{6}{a_n}^3＞0$，故${a_{n+1}}＜\frac{1}{6}a_n^3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟是關(guān)鍵．