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20.已知橢圓E的一個頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是2
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+1(k≠0)與該橢圓交于不同的兩點(diǎn)B,C,若坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為32,求△BOC的面積.

分析 (1)利用橢圓E的一個頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是2,求出橢圓的幾何量,然后求解橢圓方程.
(2)先由原點(diǎn)O到直線l的距離為32,求出k,再將直線l與橢圓聯(lián)立,求出B、C坐標(biāo),轉(zhuǎn)化求解三角形的面積即可.

解答 解:(1)橢圓E的一個頂點(diǎn)為A(0,-1),焦點(diǎn)在x軸上,若橢圓右焦點(diǎn)到橢圓E的中心的距離是2
∴b=1,c=2,則a=3,
∴所求橢圓方程為x23+y2=1.
(2)設(shè)C(x1,y1),B(x2,y2).由已知可得:11+k2=32,
得k=±33.不妨取k=33
又由{y=33x+1x23+y2=1,消去y得:
x2+3x=0,∴x1=0,y1=1,x2=-3,y2=0,∴|AB|=12+32=2.
△BOC的面積:12×2×1=1.
當(dāng)k=-33時,所求三角形的面積也是1.

點(diǎn)評 本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓相交的性質(zhì),解題時要特別注意韋達(dá)定理在解題中的重要應(yīng)用,巧妙地運(yùn)用設(shè)而不求的解題思想提高解題效率.

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