Question

15．已知雙曲線(xiàn)E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），點(diǎn)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為E上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，且滿(mǎn)足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，則E的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題意可知：四邊形PFQF₁為平行四邊，利用雙曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)，求得∠OPF₁=90°，在△QPF₁中，利用勾股定理即可求得a和b的關(guān)系，根據(jù)雙曲線(xiàn)的離心率公式即可求得離心率e．

解答 解：由題意可知：雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)F₁，由P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，
則丨OP丨=丨OQ丨，
∴四邊形PFQF₁為平行四邊，
則丨PF₁丨=丨FQ丨，丨PF丨=丨QF₁丨，
由|PF|=3|FQ|，根據(jù)橢圓的定義丨PF丨-丨PF₁丨=2a，
∴丨PF₁丨=a，|OP|=b，丨OF₁丨=c，
∴∠OPF₁=90°，
在△QPF₁中，丨PQ丨=2b，丨QF₁丨=3a，丨PF₁丨=a，
∴則（2b）²+a²=（3a）²，整理得：b²=2a²，
則雙曲線(xiàn)的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．