Question

已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0），直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M（2，2）．
（1）求p的值；
（2）設(shè)E、F兩點(diǎn)是拋物線(xiàn)C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線(xiàn)OE和直線(xiàn)OF的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時(shí)，證明：直線(xiàn)EF恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）聯(lián)立

y2=2px，p＞0 y=x

，得x²-2px=0，由此利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式能求出p=2．
（2）設(shè)E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄），直線(xiàn)AB的方程為y=kx+b，將y=kx+b與y²=4x聯(lián)立，得ky²-4y+4b=0，由韋達(dá)定理知y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=

4b

k

．由此能推導(dǎo)出當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）；當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，

4

tanθ

）．

解答： （1）解：聯(lián)立

y2=2px，p＞0 y=x

，得x²-2px=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2p，
∵線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為M（2，2），
∴

x1+x2

2

=p=2．
∴p=2．
（2）證明：設(shè)E（x₃，y₃），F(xiàn)（x₄，y₄），
由題意得x₃≠x₄（否則α+β=π）且x₃，x₄≠0，
所以直線(xiàn)AB的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+b，
則x3=

y32

4

，x4=

y42

4

，
將y=kx+b與y²=4x聯(lián)立消去x，得ky²-4y+4b=0，
由韋達(dá)定理知y₃+y₄=

4

k

，y₃y₄=

4b

k

，①
當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，即α+β=

π

2

時(shí)，tanα•tanβ=1，
所以

y3

x3

•

y4

x4

=1，x₃x₄-y₃y₄=0，

y32y42

16

-y3y4=0，
所以y₃y₄=16，
由①知：

4b

k

=16，所以b=4k，
因此直線(xiàn)AB的方程可表示為y=kx+4k，即k（x+4）-y=0，
所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）；
當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
將①式代入上式整理化簡(jiǎn)可得：tanθ=

4

b-4k

，
所以b=

4

tanθ

+4k，
此時(shí)，直線(xiàn)AB的方程可表示為y=kx+

4

tanθ

+4k，
即k（x+4）-（y-

4

tanθ

）=0，
所以直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，

4

tanθ

）；
綜上所述：當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，0）；
當(dāng)θ≠

π

2

時(shí)，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（-4，

4

tanθ

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)中系數(shù)p的求法，考查直線(xiàn)EF恒過(guò)定點(diǎn)的證明，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．