Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°，如圖，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD．

（Ⅰ）求證：CD⊥AB；
（Ⅱ）若點M為線段BC中點，求點M到平面ACD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）證明CD⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABD，利用線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥AB；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出平面ACD的一個法向量，進而可求點M到平面ACD的距離．

解答： （Ⅰ）證明：由已知條件可得BD=2，CD=2，CD⊥BD…（2分）
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD．
∴CD⊥平面ABD…（4分）
又∵AB?平面ABD，∴CD⊥AB…（6分）
（Ⅱ）解：以點D為原點，BD所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，建立空間直角坐標系，如圖．由已知可得A（1，0，1），B（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），M（1，1，0）．
∴

CD

=(0， -2， 0)，

AD

=(-1， 0， -1)…（8分）
設平面ACD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

CD

⊥

n

，

AD

⊥

n

∴

y=0 x+z=0

令x=1，得平面ACD的一個法向量為

n

=(1，0，-1)…（10分）
∴點M到平面ACD的距離d=

| n • MC |

| MC |

=

2

2

…（12分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．