Question

已知動點M到定點（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
（1）求證：M點軌跡為拋物線，并求出其軌跡方程；
（2）大家知道，過圓上任意一點P，任意作互相垂直的弦PA、PB，則弦AB必過圓心（定點）．受此啟發(fā)，研究下面問題：
①過（1）中的拋物線的頂點O任意作互相垂直的弦OA、OB，問：弦AB是否經(jīng)過一個定點？若經(jīng)過，請求出定點坐標，否則說明理由；
②研究：對于拋物線y²=2px（p＞0）上頂點以外的定點是否也有這樣的性質？請?zhí)岢鲆粋�一般的結論，并證明．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由動點M到定點（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．可得動點M到定點（1，0）的距離與M到定直線x=-1的距離相等．根據(jù)拋物線的定義即可得出．
（2）①過（1）中的拋物線的頂點O任意作互相垂直的弦OA、OB，弦AB是經(jīng)過一個定點M（4，0）．下面給出證明：
當AB⊥x軸時，直線OA，OB的方程分別為：y=-x，y=x，與拋物線方程聯(lián)立解出即可．
當AB與x軸不垂直時，設直線OA，OB的方程分別為：y=-

1

k

x，y=kx，（k≠0），分別與拋物線方程聯(lián)立可得：B(

4

k2

，

4

k

)，A（4k²，-4k）．可得：直線AB的方程為：y+4k=

k

1-k2

(x-4k2)，令y=0，解得x即可得出定點．
②對于拋物線y²=2px（p＞0）上頂點以外的定點也有這樣的性質：設點P（x₀，y₀）（y₀≠0）是拋物線y²=2px（p＞0）上的定點，過點P作相互垂直的兩條弦PA，PB，則直線AB過定點M(

y 2 0 +4p2

2p

，-y0)．下面給出分析：設P(

y 2 0

2p

，y0)，A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)．利用

PA

•

PB

=0，可得-y₁y₂=4p²+(y1+y2)y0+

y

2 0

．（*）．直線AB的方程為：x-

y 2 1

2p

=

y 2 1 2p - y 2 2 2p

y1-y2

（y-y₁），化為x=

y1+y2

2p

y+

-y1y2

2p

，把（*）代入即可證明．

解答： （1）證明：∵動點M到定點（1，0）的距離比M到定直線x=-2的距離小1．
∴動點M到定點（1，0）的距離與M到定直線x=-1的距離相等．
根據(jù)拋物線的定義可知：M點軌跡為拋物線，其軌跡方程為y²=4x．
（2）①過（1）中的拋物線的頂點O任意作互相垂直的弦OA、OB，弦AB是經(jīng)過一個定點M（4，0）．下面給出證明：
證明：當AB⊥x軸時，直線OA，OB的方程分別為：y=-x，y=x，聯(lián)立

y=x y2=4x

，x≠0，解得x=y=4．
B（4，4），同理A（4，-4），此時直線AB的方程為：x=4，經(jīng)過定點M（4，0）．
當AB與x軸不垂直時，設直線OA，OB的方程分別為：y=-

1

k

x，y=kx，（k≠0），
聯(lián)立

y=kx y2=4x

，x≠0，解得B(

4

k2

，

4

k

)，
同理可得A（4k²，-4k）．
∴直線AB的方程為：y+4k=

k

1-k2

(x-4k2)，
令y=0，解得x=4．
∴直線AB經(jīng)過定點M（4，0）．
綜上可得：直線AB經(jīng)過定點M（4，0）．
②對于拋物線y²=2px（p＞0）上頂點以外的定點也有這樣的性質：設點P（x₀，y₀）（y₀≠0）是拋物線y²=2px（p＞0）上的定點，過點P作相互垂直的兩條弦PA，PB，則直線AB過定點M(

y 2 0 +4p2

2p

，-y0)．
下面給出證明：設P(

y 2 0

2p

，y0)，A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)．
則

PA

=(

y 2 1 - y 2 0

2p

，y1-y0)，

PB

=(

y 2 2 - y 2 0

2p

，y2-y0)．
∵PA⊥PB，
∴

PA

•

PB

=（y₁-y₀）（y₂-y₀）(

(y1+y0)(y2+y0)

4p2

+1)=0，
∵（y₁-y₀）（y₂-y₀）≠0，
∴

(y1+y0)(y2+y0)

4p2

+1=0，
化為-y₁y₂=4p²+(y1+y2)y0+

y

2 0

．（*）．
直線AB的方程為：x-

y 2 1

2p

=

y 2 1 2p - y 2 2 2p

y1-y2

（y-y₁），
化為x=

y1+y2

2p

y+

-y1y2

2p

，
把（*）代入可得x=

y 2 0 +4p2

2p

+

y1+y2

2p

(y+y0)，
令y=-y₀，可得x=

y 2 0 +4p2

2p

．
∴直線AB過定點M(

y 2 0 +4p2

2p

，-y0)．

點評：本小題主要考查拋物線的定義及其性質、直線過定點問題、如何設拋物線上的點坐標、直線的點斜式等基礎知識，考查數(shù)形結合、方程思想、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新探究意識．